Question

7．求（1+2x）¹⁰的展开式中
（1）求二项式系数最大的项；
（2）求系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）由已知二项式可知展开式由11项，则中间一项的二项式系数最大，由此求得二项式系数最大的项；
（2）写出二项展开式的通项，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r-1}{2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，求得r的范围得答案．

解答 解：（1）（1+2x）¹⁰的展开式中共有11项，
中间一项的二项式系数最大，T₆=${C}_{10}^{5}$2⁵x⁵；
（2）（1+2x）¹⁰的展开式的通项公式为${T}_{r+1}={C}_{10}^{r}{2}^{r}{x}^{r}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r-1}{2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{2}^{r}≥{C}_{10}^{r+1}{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，解得$\frac{19}{3}≤r≤\frac{22}{4}$，故r=7．
即系数最大的项为第8项，为${T}_{8}={C}_{10}^{8}{2}^{7}{x}^{7}$．

点评 本题考查二项式系数的性质，熟记二项展开式的通项，同时注意二项式系数与项的系数的区别，是中档题．