Question

4．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，试推测出数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，两边取倒数：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
故答案为：$\frac{1}{2n-1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了变形能力、计算能力，属于中档题．