Question

若x∈（0，

π

2

），y∈（0，

π

2

），且tan2x=3tan（x-y），则x+y的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：设tan（x-y）=u，则tan2x=3tan（x-y）=3u，求得w=tan（x+y）=

2u

1+3u2

．再根据|w|≤

3

3

，
结合x+y∈（0，π），可得x+y的取值范围．

解答： 解：∵x∈（0，

π

2

），y∈（0，

π

2

），∴0＜x+y＜π．
设tan（x-y）=u，x-y∈（-

π

2

，

π

2

），则u的值域是R，
∵tan2x=3tan（x-y）=3u，
∴tan（x+y）=tan[2x-（x-y）]=

tan2x-tan(x-y)

1+tan2xtan(x-y)

=

3u-u

1+3u2

=

2u

1+3u2

，
记为 w=tan（x+y）=

2u

1+3u2

．
∵|w|=

2|u|

1+3|u|2

=

2

1 |u| +3|u|

≤

2

2 3

=

3

3

，当且仅当|u|=

3

3

时，取等号．
∴-

3

3

≤tan（x+y）≤

3

3

，
结合x+y∈（0，π），可得x+y的取值范围是（0，

π

6

]∪[

5π

6

，π），
故答案为：（0，

π

6

]∪[

5π

6

，π）．

点评：本题主要考查两角和差的正切公式、基本不等式的应用，解三角不等式，属于基础题．