Question

已知正项等比数列{a_n}满足：a₆=a₅+2a₄，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=2a₁，则

1

m

+

4

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，由：a₆=a₅+2a₄，解得q=2．即可得到通项公式an=a1•2n-1．由于存在两项a_m，a_n使得

aman

=2a₁，可得

a 2 1 •2m-1•2n-1

=2a1，化为m+n=4．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，
∵a₆=a₅+2a₄，∴a4•q2=a4•q+2a4，化为q²=q+2，解得q=2．
∴an=a1•2n-1．
∵存在两项a_m，a_n使得

aman

=2a₁，∴

a 2 1 •2m-1•2n-1

=2a1，化为2^m+n-2=2²，即m+n=4．
∴

1

m

+

4

n

=

1

4

(m+n)(

1

m

+

4

n

)=

1

4

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

4

(5+2

n m • 4m n

)=

9

4

，当且仅当n=3，m=1时，取得最小值．
故答案为：

9

4

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、指数运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．