试题分析:解法一: (1)记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O、M分别是AC、EF的中点, ACEF是矩形,∴四边形AOEM是平行四边形,
∴AM∥OE.∵
平面BDE,
平面BDE,∴AM∥平面BDE.……4分
(2)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S,连结BS,∵AB⊥AF, AB⊥AD,
∴AB⊥平面ADF,∴AS是BS在平面ADF上的射影,
由三垂线定理得BS⊥DF.∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角.
在RtΔASB中,
∴
∴二面角A—DF—B的大小为60º.……8分
(3)设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q,则PQ∥AD,
∵PQ⊥AB,PQ⊥AF,
,∴PQ⊥平面ABF,
平面ABF,∴PQ⊥QF.在RtΔPQF中,∠FPQ=60º,PF=2PQ.
∵ΔPAQ为等腰直角三角形,∴
又∵ΔPAF为直角三
角形,∴
,∴
所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC的中点.……12分
解法二: (1)建立空间直角坐标系.
设
,连接NE, 则点N、E的坐标分别是(
、(0,0,1),
∴
, 又点A、M的坐标分别是
,(
∴
=(
∴
且NE与AM不共线,∴NE∥AM.又∵
平面BDE,
平面BDE,∴AM∥平面BDE.
(2)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF
∴AB⊥平面ADF.
∴
为平面DAF的法向量.
∵
=(
·
=0,
∴
=(
·
=0得
,
,∴NE为平面BDF的法向量.
∴cos<
=
∴AB与NE的夹角是60º.即所求二面角A—DF—B的大小是60º.
(3)设P(t,t,0)(0≤t≤
)得
∴
=(0,
, 0)
又∵PF和BC所成的角是60º.∴
解得
或
(舍去),即点P是AC的中点.
点评:解决的关键是根据线面平行的判定定理,以及空间的法向量来求解二面角的平面角的大小,属于中档题。