Question

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2 DE＝2，M为AD中点．

(Ⅰ) 证明；
(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为，求AB的长．

Answer 1

(Ⅰ).由已知为正三角形，；(Ⅱ) AB＝．

试题分析：(Ⅰ).由已知为正三角形，
(Ⅱ) 方法一：设AB＝x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF．
因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，
所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，
连结DH，则DH⊥BF，
所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝．
在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得＝，所以GH＝．
在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得DH＝．
因为cos∠DHG＝＝，得x＝，所以AB＝．
方法二：设AB＝x．以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．
则F(0，0，0)，A(－2， 0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．
因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．
设＝(x₁，y₁，z₁)为平面BFD的法向量，则

所以，可取＝(，1，)．因为cos<，>＝＝，
得x＝，所以AB＝．
方法三：以M为原点，MA， MF所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．略
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。本题利用向量简化了证明过程。把证明问题转化成向量的坐标运算，这种方法带有方向性。