Question

下列条件中，是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件的个数为（　　）
①asinA=bsinB    ②acosA=bcosB    ③acosB=bcosA    ④asinB=bsinA．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,两角和与差的正弦函数,正弦定理

专题：简易逻辑

分析：分别根据正弦定理和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答： 解：①由正弦定理可知若asinA=bsinB，则a²=b²，
∴asinA=bsinB是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件，∴①正确．
②由正弦定理可知acosA=bcosB，则sinAcosA=sinBcosB，
即

1

2

sin2A=

1

2

sin2B，
∴sin2A=sin2B，即2A=2B或2A=π-2B，
∴A=B或A+B=

π

2

，即△ABC为等腰三角形或者是直角三角形，
∴acosA=bcosB是“△ABC为等腰三角形”的必要不充分条件，∴②错误．
 ③由正弦定理可知若acosB=bcosA，
则sinAcosB=sinBcosA，即sin（A-B）=0，
∴A=B，∴acosB=bcosA是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件，∴③正确．
④由正弦定理可知若asinB=bsinA．
则sinAsinB=sinBsinA．此时对任何三角形都成立，∴asinB=bsinA不是充分不必要条件，∴④错误，
故正确是①③，
故选：B．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用正弦定理是解决本题的关键．