Question

10．已知数列{a_n}是等差数列，且不等式x²-a₄x+a₁＜0的解集为（3，6）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求S_n的最大值及此时n的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得3，6为x²-a₄x+a₁=0的两根，运用韦达定理可得a₄、a₁，再由等差数列的通项公式可得公差，即可得到所求通项公式；
（2）方法一、运用通项公式可得各项的符号规律，可得n=6或7时，S_n取到最大值；
方法二、求出前n项和的公式，由配方结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由不等式x²-a₄x+a₁＜0的解集为（3，6），
即为3，6为x²-a₄x+a₁=0的两根，
有a₄=3+6=9，a₁=3×6=18，
即有3d=a₄-a₁=-9，
故等差数列{a_n}的公差d=-3，
所以 a_n=21-3n．
（2）法一：由（1）知：n≤6时，a_n＞0；n=7时，a_n=0；
n≥8时，a_n＜0；
所以n=6或7时，S_n取到最大值S₆=S₇=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{7}）•7}{2}$=63．
法二：S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）•n}{2}$=$\frac{（18+21-3n）•n}{2}$=-$\frac{3}{2}$（n²-13n）=-$\frac{3}{2}$[（n-$\frac{13}{2}$）²-$\frac{169}{4}$]，
所以n=6或7时，S_n取到最大值S₆=S₇=63．

点评 本题考查二次不等式和二次方程的关系，注意运用韦达定理，考查等差数列的通项公式的运用，考查等差数列的前n项和的最值的求法，注意运用等差数列中的项的变化规律和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．