Question

若x⁵+3x³+1=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₅（x-1）⁵对任意实数x都成立，则a₃的值是（　　）

• A、13
• B、10
• C、3
• D、1

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：根据x⁵+3x³+1=[1+（x-1）]⁵+3[1+（x-1）]³+1，按照二项式定理展开，和所给的等式作对比，求得a₃的值．

解答： 解：∵x⁵+3x³+1=[1+（x-1）]⁵+3[1+（x-1）]³+1=
5+（

C

1 5

+3

C

1 3

）•（x-1）+（

C

2 5

+3

C

2 3

）•（x-1）²+（

C

3 5

+3

C

3 3

）•（x-1）³+

C

4 5

•（x-1）⁴+

C

5 5

•（x-1）⁵，
x⁵+3x³+1=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₅（x-1）⁵对任意实数x都成立，
则a₃=

C

3 5

+3

C

3 3

=13，
故选：A．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．