Question

在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，求证：
（1）平面ABD⊥平面BCD
（2）求C点到平面ABD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先通过折叠，把平面问题空间化，利用相关的线段长求出线面垂直，进一步得到面面垂直．
（2）利用（1）的结论，利用锥体的体积相等，求得点与面之间的距离．

解答： （1）证明：在直角梯形ABCD中，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，
做AC的中点E，并连接DE，
由于∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，
所以：DE⊥AC
则：DE⊥平面ABC
利用勾股定理解得：DE=

2

，BE=

10

，BD=2

3

由于：AD=2，BD=2

3

，AB=4
所以：AD²+BD²=AB²
AD⊥BD，AD⊥DC
所以：AD⊥平面DBC
AD?平面ADB
所以：平面ABD⊥平面BCD
（2）解：由（1）得：△ABD是直角三角形．
S_△ABD=

1

2

•AD•BD=2

3

设C到平面ABD的距离为h，
V_D-ABC=V_C-ABD

1

3

•

1

2

•2

2

•2

2

•

2

=

1

3

•2

3

•h
解得：h=

2 6

3

即：C点到平面ABD的距离为：

2 6

3

点评：本题考查的知识要点：折叠问题，勾股定理及逆定理的应用，线面垂直的判定，面面垂直的判定定理，锥体的体积计算．属于基础题型．