Question

【题目】如图，已知四棱锥，底面为菱形， 平面， ， 分别是的中点．

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）若为上的动点， 与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件，可证菱形中， ，再由线面垂直可得线线垂直得出，进一步得出平面，再由线面垂直的性质，可证线线垂直　（Ⅱ）由所给条件，建立以为坐标原点空间直角坐标系，写出空间各点坐标，求出二面角的二面的法向量，由法向量的夹角与二面角之间的关系求出其余弦值．

试题解析：（Ⅰ）证明：由四边形为菱形， ，可得为正三角形．

因为为的中点，所以．

又，因此．

因为平面， 平面，所以．

而平面， 平面且，

所以平面．又平面，所以．

（Ⅱ）解：设， 为上任意一点，连接．

由（Ⅰ）知平面， 为与平面所成的角．

在中， ，所以当最短时， 最大，

即当时， 最大．此时，

因此．又，所以，所以．

方法1：因为平面， 平面，

所以平面平面．过作于，由面面垂直的性质定理，

则平面，过作于，连，则，此时平面，

显然，则为二面角的平面角，

在中，∵，∴， ，

在中，∵，又是的中点，∴，

因此在中， ，又，

在中， ，即所求二面角的余弦值为．

方法2：由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

又分别为的中点，所以， ，所以．

设平面的一法向量为，则 因此

取，则，因为， ， ，所以平面，

故为平面的一法向量．又，所以．因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．