Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知侧面，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=.

(1) 求证：C1B⊥平面ABC；

（2）设 =?(0≤?≤1)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角

的大小为30°，试求?的值.

 

 

Answer 1

(1)证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明线面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：1）因为侧面,侧面，故,

在中, 由余弦定理得：

，

所以， 3 分

故,所以,而平面. 5分

（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为

轴建立空间直角坐标系．

则，,． 7分

所以,所以,

则．设平面的法向量为，

则由,得,即，

令，则是平面的一个法向量． 10分

侧面,是平面的一个法向量，

.

两边平方并化简得，所以=1或（舍去）. 12分

考点：（1）证明直线与平面垂直；（2）利用空间向量解决二面角问题.