Question

【题目】以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（α为参数）.设曲线与x轴、y轴的交点分别为A，B，线段的中点为M，射线与曲线交于点N.

（1）求曲线的普通方程与曲线的极坐标方程；

（2）求.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）.

【解析】

（1）首先利用两角和的正弦公式展开，再根据公式，化为曲线的普通方程，首先将曲线 化为普通方程，再化简为极坐标方程；（2）首先求得射线的极坐标方程，以及，再联立射线和曲线的极坐标方程，得到，根据计算求值.

（1）∵曲线的极坐标方程为，

∴，即，

∵，，

∴曲线的普通方程为.

又曲线的参数方程为（α为参数），

消去参数α，得，即，

∴，整理得，

∴曲线的极坐标方程为.

（2）由（1）得，，

∴线段的中点M的坐标为，

∴射线的极坐标方程为，且.

将代入曲线的极坐标方程得，

∴.