Question

3．已知正方形ABCD的边长为1，直线MN过正方形的中心O交边AD，BC于M，N两点，若点P满足2$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），则$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值为-$\frac{7}{16}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，|2$\overrightarrow{OP}$|≥$\frac{1}{2}$，故 ${\overrightarrow{OP}}^{2}$≥$\frac{1}{16}$．由$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-${\overrightarrow{OP}}^{2}$，数形结合求得它的最小值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，由2$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（λ∈R），
可得2$\overrightarrow{OP}$的终点在线段AB上，|2$\overrightarrow{OP}$|≥$\frac{1}{2}$，
∴${\overrightarrow{OP}}^{2}$≥$\frac{1}{16}$．
由于$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$）
=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+${\overrightarrow{OP}}^{2}$=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$+${\overrightarrow{OP}}^{2}$≥-$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{16}$=-$\frac{7}{16}$，
当且仅当λ=0 或λ=1时，取等号．
故答案为：-$\frac{7}{16}$．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、向量的三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．