Question

已知曲线C：

x=3cosθ y=2sinθ

（参数θ∈[0，2π），直线l：x+2y=10．
（1）设点P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值和最小值；
（2）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，取相同的长度单位，求C与直线l的极坐标方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由曲线C：

x=3cosθ y=2sinθ

（参数θ∈[0，2π），利用sin²θ+cos²θ=1消去参数θ，即可得出直角坐标方程．设与此椭圆相切且与直线l：x+2y=10平行的直线为x+2y+m=0．与椭圆方程联立化为25y²+16my+4m²-36=0，令△=0，解得m．利用平行线之间的距离公式即可得出．
（2）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

分别代入曲线C与直线l：x+2y=10的方程，即可得出极坐标方程．

解答： 解：（1）由曲线C：

x=3cosθ y=2sinθ

（参数θ∈[0，2π），消去参数θ，化为

x2

9

+

y2

4

=1．
设与此椭圆相切且与直线l：x+2y=10平行的直线为x+2y+m=0．
联立

x+2y+m=0 x2 9 + y2 4 =1

，化为25y²+16my+4m²-36=0，
令△=256m²-100（4m²-36）=0，
解得m=±5．
∴直线l：x+2y=10与两条平行切线x+2y±5=0的距离分别：

5

，3

5

．
∴P到直线l的距离的最大值和最小值分别为：3

5

，

5

；
（2）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

分别代入曲线C

x2

9

+

y2

4

=1，直线l：x+2y=10的方程，
可得极坐标方程：4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36，ρcosθ+2ρsinθ-10=0．

点评：本题考查了把极坐标化为直角坐标、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、平行线之间的距离公式、直线与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．