Question

（本小题满分12分）某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米.

（Ⅰ）分别用表示和S的函数关系式，并给出定义域；

（Ⅱ）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）设计， 时，运动场地面积最大，最大值为平方米.

【解析】

试题分析：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.

试题解析：（Ⅰ）由已知，，其定义域是.

又，，

,其定义域是. 6分

（Ⅱ） ，

当且仅当，即时，上述不等式等号成立，

此时，，，.

答：设计， 时，运动场地面积最大，最大值为平方米. 12分

考点：利用基本不等式解决实际问题