Question

16．已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过点M的直线l′与抛物线C的交点为P，Q，延长PF交抛物线C于点A，延长QF交抛物线C于点B，若$\frac{|PF|}{|AF|}$+$\frac{|QF|}{|BF|}$=22，则直线l′的方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{6}$（x+2）．

Answer 1

分析 设直线l′方程，代入抛物线方程，由韦达定理及抛物线的对称性即可求得m的值，求得直线l′的方程．

解答 解：抛物线C：y²=8x的焦点为F（2，0），设直线l′的方程x=my-2，
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{x=my-2}\end{array}\right.$，整理得：y²-8my+16=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则△=64m²-64＞0，即m²＞1，
∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=16，
由抛物线的对称性可知：$\frac{|PF|}{|AF|}$+$\frac{|QF|}{|BF|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=4m²-2=22，解得：m²=6，
故m=±$\sqrt{6}$，
∴直线l′的方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{6}$（x+2），
故答案为：y=±$\frac{\sqrt{6}}{6}$（x+2）．

点评 本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的对称性，考查计算能力，属于中档题．