Question

如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD。

（I）证明：PQ⊥平面DCQ；
（II）求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值。

Answer 1

解析：（I）由条件知，PDAQ是直角梯形，
因为AQ⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线是AD。
又四边形ABCD是正方形，DC⊥AD,所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC。
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD.
所以PQ⊥平面PCQ.
（2 ）设AB=a

由题设知AQ 为棱锥Q-ABCD 的高， 所以棱锥Q-ABCD 的体积   

由（1 ）知PQ 为棱锥P-DCQ 的高，而PQ=  ，

△DCQ 的面积为 ，

所以棱锥P-DCQ 的体积为  

故棱锥Q-ABCD 的体积与棱锥P-DCQ 的体积的比值为1 。

略