Question

12．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且CA⊥CB求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线y=x²-6x+5与坐标轴的交点为A（0，5），B（1，0），C（5，0），设圆C的方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入构造方程组，解得圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且CA⊥CB，则d=$\frac{\left|a\right|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{13}$，解得a值．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）曲线y=x²-6x+5与坐标轴的交点为A（0，5），B（1，0），C（5，0），
设圆C的方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则$\left\{\begin{array}{l}25+5E+F=0\\ 1+D+F=0\\ 25+5D+F=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}D=-6\\ E=-6\\ F=5\end{array}\right.$，
故圆C的方程为：x²+y²-6x-6y+5=0，即（x-3）²+（y-3=13 …（8分）
（Ⅱ）由CA⊥CB得△ABC为等腰直角三角形，|AB|=$\sqrt{2}$r
d=$\frac{\left|a\right|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{13}$，
解得：a=±$\sqrt{13}$…（12分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．