Question

3．已知函数f（x）=lnx+$\frac{ax}{x-1}$
（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）讨论f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，根据函数的极值的个数从而求出a的范围；
（2）通过讨论a的范围，判断函数的零点个数．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+（a+2）x+1}{{x（x+1）}^{2}}$，
（1）△＞0，-$\frac{a+2}{a}$＞0，即a＜-4时，
f′（x）有2个不同正根$\frac{-（a+2）±\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
则f（x）在（0，$\frac{-（a+2）-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$），（$\frac{-（a+2）+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，+∞）递增，
在（$\frac{-（a+2）-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，$\frac{-（a+2）+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$）递减，
此时函数有2个极值点，
当a≥-4时，（x+1）²+ax≥（x+1）²-4x≥0，f′（x）≥0，
此时不成立，故a＜-4；
（2）x→0，f（x）→-∞，x→+∞，f（x）→+∞，
由（1）a≥-4时，f′（x）≥0，此时恰有1个零点，
a＜-4时，f（x）在x₀=$\frac{-（a+2）-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$取极大值，
此时f（x₀）=lnx₀-$\frac{{{（x}_{0}+1）}^{2}}{{x}_{0}+1}$=lnx₀-（x₀+1），
设g（x）=lnx-（x+1），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，则g（x）在x=1处取极大值-2，
即g（x）恒小于0．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．