Question

已知焦点在y轴，顶点在原点的抛物线C₁经过点P（2，2），以C₁上一点C₂为圆心的圆过定点A（0，1），记M、N为圆C₂与x轴的两个交点．
（1）求抛物线C₁的方程；
（2）当圆心C₂在抛物线上运动时，试判断|MN|是否为一定值？请证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出抛物线方程，代入P，即可求出抛物线的方程；
（2）表示出圆被x轴截得的弦长，利用圆心在抛物线上，即可得出结论

解答： 解：（1）由已知，设抛物线方程为x²=2py，则
代入P（2，2），可得p=1，
∴抛物线C₁的方程为x²=2y；
（2）设圆的圆心M（a，b），则圆的半径为

a2+(b-1)2

，
∴圆被x轴截得的弦长为|MN|=2

r2-b2

=2

a2+2-2b+1-b2

=2

a2-2b+1

，
∵a²=2b，
∴|MN|=2；
∴|MN|是一定值．

点评：本题考查了待定系数法是求圆锥曲线的常用方法，弦长公式的运用，属于难题．