Question

以下命题：
①若|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|，则

a

∥

b

；
②

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影为

1

5

；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，则

BC

•

CA

=20；
④若非零向量

a

、

b

满足|

a

+

b

|=|

b

|，则|2

b

|＞|

a

+2

b

|．
所有真命题的标号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,向量的模,平面向量数量积的运算

专题：综合题,平面向量及应用

分析：①由|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|得出两向量的夹角为0°或180°，判断命题正确；
②求出

a

在

b

方向上的投影即可；
③画出图形，结合图形求出

BC

•

CA

的值即可；
④由|

a

+

b

|=|

b

|，得出2

a

•

b

=-

a

2，由4

b

2＞(

a

+2

b

)2，即得|2

b

|＞|

a

+2

b

|．

解答： 解：对于①，当|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|时，cos＜

a

，

b

＞=±1，两向量的夹角为0°或180°，
∴

a

∥

b

，命题正确；
对于②，

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影是
|

a

|cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| b |

=

-1×3+1×4

32+42

=

1

5

，∴命题正确；
对于③，△ABC中，如图所示；
a=5，b=8，c=7，
∴cos＜

BC

，

CA

＞=-

a2+b2-c2

2ab

=-

25+64-49

2×5×8

=-

1

2

，

BC

•

CA

=5×8×（-

1

2

）=-20，∴命题错误；
对于④，∵非零向量

a

、

b

满足|

a

+

b

|=|

b

|，∴

a

2+2

a

•

b

=0，
即2

a

•

b

=-

a

2；
∴4

b

2-(

a

+2

b

)2=-

a

2-4

a

•

b

=-

a

2-（-2

a

2）=

a

2＞0，
∴4

b

2＞(

a

+2

b

)2；
即|2

b

|＞|

a

+2

b

|，∴命题正确．
综上，正确的命题是①②④．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，解题时应对每一个选项进行分析判断，从而得出正确的结论．