Question

10．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2⁰，接下来的两项是2⁰，2¹，在接下来的三项式2⁶，2¹，2²，依此类推，求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　）

• A． 110
• B． 220
• C． 330
• D． 440

Answer 1

分析 由题意求得数列的每一项，及前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2-n，及项数，由题意可知：2ⁿ⁺¹为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值

解答 由题意可知：$\underset{\underbrace{{2}^{0}}}{第一项}$，$\underset{\underbrace{{2}^{0}，{2}^{1}}}{第二项}$，$\underset{\underbrace{{2}^{0}，{2}^{1}，{2}^{2}}}{第三项}$，…$\underset{\underbrace{{2}^{0}，{2}^{1}，{2}^{2}…，{2}^{n-1}}}{第n项}$，
根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：2¹-1，2²-1，2³-1，…，2ⁿ-1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为N=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
所有项数的和为S_n：2¹-1+2²-1+2³-1+…+2ⁿ-1=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n=2ⁿ⁺¹-2-n，
由题意可知：2ⁿ⁺¹为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，
则①1+2+（-2-n）=0，解得：n=1，总共有$\frac{（1+1）×1}{2}$+2=3，不满足N＞100，
②1+2+4+（-2-n）=0，解得：n=5，总共有$\frac{（1+5）×5}{2}$+3=18，不满足N＞100，
③1+2+4+8+（-2-n）=0，解得：n=13，总共有$\frac{（1+13）×13}{2}$+4=95，不满足N＞100，
④1+2+4+8+16+（-2-n）=0，解得：n=29，总共有$\frac{（1+29）×29}{2}$+5=440，满足N＞100，
∴该款软件的激活码440．
故选：D．

点评 本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题