Question

13．已知数列{a_n}中，a₇=4，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}+4}{7-{a}_{n}}$．
（1）试求a₈和a₆的值；用含有a_n+1的式子表示a_n；
（2）对于数列{a_n}，是否存在自然数m，使得当n≥m时，a_n＜2；当n＜m时，a_n＞2，若存在只证明；当n≥m时，a_n＜2；若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₇=4，a_n+1=$\frac{{3{a_n}+4}}{{7-{a_n}}}$可解得a₆=$\frac{24}{7}$，a₈=$\frac{16}{3}$；
（2）依题意，进一步计算可得a₉=12，a₁₀=-8，a₁₁=-$\frac{4}{3}$，由此猜想：存在自然数m=10，使得当n≥10时，a_n＜2；当n＜10时，a_n＞2，对前者，利用数学归纳法证明，对后者验证，当n=1，2，3，…，9时的情况即可．

解答 解：（1）因为a₇=4，a_n+1=$\frac{{3{a_n}+4}}{{7-{a_n}}}$
当n=6时，解得a₆=$\frac{24}{7}$…（2分）
当n=7时，解得a₈=$\frac{16}{3}$．…（4分）
（2）类似计算得到，a₆=$\frac{24}{7}$，a₇=4，a₈=$\frac{16}{3}$，a₉=12，a₁₀=-8，a₁₁=-$\frac{4}{3}$．…（6分）
由此猜想：
存在自然数m=10，使得当n≥10时，a_n＜2；当n＜10时，a_n＞2．…（7分）
证明：①首先验证，当n=1，2，3，…，9时，a_n＞2．
由已知条件a_n+1=$\frac{{3{a_n}+4}}{{7-{a_n}}}$解得a_n=$\frac{{7{a_{n+1}}-4}}{{{a_{n+1}}+3}}$，
然后由a₇=4出发，计算这个数列的第6项到第1项：a₆=$\frac{24}{7}$，a₅=$\frac{28}{9}$，a₄=$\frac{32}{11}$，a₃=$\frac{36}{13}$，a₂=$\frac{40}{15}$=$\frac{8}{3}$，a₁=$\frac{44}{17}$，
显然，当n＜10时，a_n＞2．…（9分）
②再用数学归纳法证明：n≥10时，a_n＜2．
①当n=10时，a₁₀=-8＜2，猜想成立．…（10分）
②假设当n=k（k≥10）时，猜想成立，即a_k＜2，
那么当n=k+1时，有a_k+1-2=$\frac{{3{a_k}+4}}{{7-{a_k}}}$-2=$\frac{{5（{a_k}-2）}}{{7-{a_k}}}$，…（12分）
由a_k＜2，则a_k-2＜0，7-a_k＞0，
所以，a_k+1-2＜0，即a_k+1＜2成立．…（13分）
根据①、②，当n≥10时，a_n＜2．
因此，存在自然数m=10，使得当n≥10时，a_n＜2；当n＜10时，a_n＞2． …（14分）
（也可求出${a_n}=2-\frac{10}{2n-19}$后证明，请参照给分）

点评 本题考查数列递推式的应用，突出考查推理运算能力，考查数学归纳法的应用，属于难题．