Question

1．已知函数f（x）=（1-2a）lnx+ax+$\frac{2}{x}$，其中a∈R．
（1）若a＜0，试讨论f（x）的单调性；
（2）记函数g（x）=f（x）+（2a-3）lnx-$\frac{3a+4}{x}$，若g（x）在区间[1，4]上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，然后对a分类讨论，利用导函数在个区间段内的符号可得原函数的单调性；
（2）把f（x）的解析式代入g（x），由g（x）在区间[1，4]上不单调，说明g（x）在区间（1，4）上由极值，然后利用导数进一步求解得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=（1-2a）lnx+ax+$\frac{2}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-2a}{x}+a-\frac{2}{{x}^{2}}=\frac{a{x}^{2}+（1-2a）x-2}{{x}^{2}}$（x＞0）．
令h（x）=ax²+（1-2a）x-2=（x-2）（ax+1），
当a=$-\frac{1}{2}$时，h（x）≤0，即f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
即f（x）在（0，+∞）上为减函数；
当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，$-\frac{1}{a}$＞2，
∴当x∈（0，2）∪（-$\frac{1}{a}$，+∞）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，
当x∈（2，-$\frac{1}{a}$）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2），（-$\frac{1}{a}$，+∞）上为减函数，在（2，-$\frac{1}{a}$）上为增函数；
当a＜-$\frac{1}{2}$时，0＜$-\frac{1}{a}$＜2，
∴当x∈（0，-$\frac{1}{a}$）∪（2，+∞）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，
当x∈（-$\frac{1}{a}$，2）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$），（2，+∞）上为减函数，在（-$\frac{1}{a}$，2）上为增函数．
（2）g（x）=f（x）+（2a-3）lnx-$\frac{3a+4}{x}$
=（1-2a）lnx+ax+$\frac{2}{x}$+（2a-3）lnx-$\frac{3a+4}{x}$=ax-2lnx-$\frac{3a+2}{x}$，
g′（x）=a-$\frac{2}{x}$$+\frac{3a+2}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-2x+3a+2}{{x}^{2}}$，
∵g（x）在区间[1，4]上不单调，
∴g（x）在（1，4）上有极值，也就是ax²-2x+3a+2=0在（1，4）上有解．
即$a=\frac{2x-2}{{x}^{2}+3}$在（1，4）上有解．
令t（x）=$\frac{2x-2}{{x}^{2}+3}$（1＜x＜4），则t′（x）=$\frac{2（{x}^{2}+3）-2x（2x-2）}{（{x}^{2}+3）^{2}}=\frac{-2{x}^{2}+4x+6}{（{x}^{2}+3）^{2}}$＞0．
∴t（x）在（1，4）上为增函数，
则当x∈（1，4）时，t（x）∈（0，$\frac{6}{19}$）．
∴要使ax²-2x+3a+2=0在（1，4）上有解，则a∈（0，$\frac{6}{19}$）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．