Question

4．定义在区间（1，+∞）内的函数f（x）满足下列两个条件：
①对任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
②当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．
已知函数y=f（x）的图象与直线mx-y-m=0恰有两个交点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [1，2）
• B． （1，2]
• C． [$\frac{4}{3}$，2）
• D． （$\frac{4}{3}$，2]

Answer 1

分析 根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k（x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数k的范围即可．

解答 解：定义在区间（1，+∞）内的函数f（x）满足下列两个条件：
①对任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
②当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．
函数的解析式为：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，
直线y=m（x-1）过定点M（1，0），画出f（x）在（1，+∞）上的部分图象如图，得A（2，2）、B（4，4）．
又k_MB=$\frac{4}{3}$，k_MA=2．
由题意得f（x）=m（x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，
如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）
分析图象知，当$\frac{4}{3}$≤m＜2时f（x）=m（x-1）有两个不同的解．
故选：C．

点评 解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学数学，是解决数学问题的必备的解题工具．