Question

12．已知椭圆E：mx²+y²=1（m＞0）．
（Ⅰ）若椭圆E的右焦点坐标为$（\sqrt{3}，0）$，求m的值；
（Ⅱ）由椭圆E上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形．若以B（0，1）为直角顶点的椭圆E的内接等腰直角三角形恰有三个，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化椭圆E的方程为标准形式，通过焦点$（\sqrt{3}，0）$在x轴上，求出a，然后求解m即可．
（Ⅱ）设椭圆E内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA，BC，设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BA与BC不与坐标轴平行，且k_BA•k_BC=-1＜0，设直线BA的方程为y=kx+1（k＞0），则直线BC的方程为$y=-\frac{1}{k}x+1$，
联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，通过数据线的形状，转化求解即可．

解答 （本小题14分）
解：（Ⅰ）椭圆E的方程可以写成$\frac{x^2}{{\frac{1}{m}}}+{y^2}=1$，焦点$（\sqrt{3}，0）$在x轴上，所以${a^2}=\frac{1}{m}$，b²=1${c^2}={a^2}-{b^2}=\frac{1}{m}-1={\sqrt{3}^2}=3$，求得$m=\frac{1}{4}$．…（4分）
（Ⅱ）设椭圆E内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA，BC，设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
显然BA与BC不与坐标轴平行，且k_BA•k_BC=-1＜0∴可设直线BA的方程为y=kx+1（k＞0），则直线BC的方程为$y=-\frac{1}{k}x+1$，
由$\left\{\begin{array}{l}m{x^2}+{y^2}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$消去y得到（m+k²）x²+2kx=0，所以${x_1}=\frac{-2k}{{m+{k^2}}}$
求得$|BA|\;=\sqrt{{k^2}+1}|{x_1}-0|\;=\sqrt{{k^2}+1}\frac{|-2k|}{{m+{k^2}}}=\frac{2k}{{m+{k^2}}}\sqrt{{k^2}+1}$
同理可求$|BC|\;=\sqrt{{{（-\frac{1}{k}）}^2}+1}|{x_2}-0|\;=\sqrt{{{（-\frac{1}{k}）}^2}+1}\frac{{|-2（-\frac{1}{k}）|}}{{m+{{（-\frac{1}{k}）}^2}}}=\frac{2}{{m{k^2}+1}}\sqrt{{k^2}+1}$
因为△ABC为以B（0，1）为直角顶点的等腰直角三角形，所以|BA|=|BC|，
所以$\frac{2k}{{m+{k^2}}}\sqrt{{k^2}+1}=\frac{2}{{m{k^2}+1}}\sqrt{{k^2}+1}$，
整理得mk³-k²+k-m=0⇒（mk³-m）-（k²-k）=0⇒m（k³-1）-（k²-k）=0
m（k-1）（k²+k+1）-k（k-1）=0⇒（k-1）[mk²+（m-1）k+m]=0
所以k=1或mk²+（m-1）k+m=0，设f（k）=mk²+（m-1）k+m
因为以B（0，1）为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个，
所以关于k的方程mk²+（m-1）k+m=0有两个不同的正实根x₁，x₂，且都不为1∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≠0⇒m+（m-1）+m≠0⇒m≠\frac{1}{3}}\\{{x}_{1+}{x}_{2＞}0⇒-\frac{m-1}{m}＞0⇒0＜m＜1}\\{{x}_{1}•{x}_{2＞}0⇒1＞0}\\{△＞0⇒△=（m-1）^{2}-4{m}^{2}＞0⇒-1＜m＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
所以实数m的取值范围是$（0，\frac{1}{3}）$．…（14分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．