Question

2．已知a，b，c，d∈R且满足$\frac{a+3lna}{b}$=$\frac{d-3}{2c}$=1，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为$\frac{9}{5}$ln²$\frac{{e}^{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意可将（a，b），（c，d）分别看成函数=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，然后利用两点的距离公式，结合几何意义进行求解．

解答 解：因为$\frac{a+3lna}{b}$=$\frac{d-3}{2c}$=1，所以可将P：（a，b），Q：（c，d）分别看成函数y=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，
问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，
设M（t，t+3lnt）是曲线y=x+3lnx的切点，因为y′=1+$\frac{3}{x}$，
故点M处的切斜的斜率k=1+$\frac{3}{t}$，
由题意可得1+$\frac{3}{t}$=2，解得t=3，
也即当切线与已知直线y=2x+3平行时，此时切点M（3，3+3ln3）到已知直线y=2x+3的距离最近，
最近距离d=$\frac{|6-3-3ln3+3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6-3ln3}{\sqrt{5}}$，
也即（a-c）²+（b-d）²=$\frac{9（2-ln3）^{2}}{5}$=$\frac{9}{5}$ln²$\frac{{e}^{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{9}{5}$ln²$\frac{{e}^{2}}{3}$

点评 本题主要考查了利用导数研究切线，解题的关键是利用几何意义进行求解，属于中档题