Question

11．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l的极坐标方程为$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）-2=0$，曲线C的极坐标方程为：ρsin²θ=cosθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C₁．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C₁交于A，B两点，点P（2，0），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）曲线C的极坐标方程为：ρsin²θ=cosθ，即ρ²sin²θ=ρcosθ，化为直角坐标方程：y²=x，通过变换可得曲线C₁的方程．
（II）直线l的极坐标方程为$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）-2=0$，展开可得：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）-2=0，利用互化公式可得直角坐标方程．可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C₁的直角坐标方程可得：t²+2$\sqrt{2}$t-4=0，利用|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲线C的极坐标方程为：ρsin²θ=cosθ，即ρ²sin²θ=ρcosθ，化为直角坐标方程：y²=x．
将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C₁：y²=2（x-1）．
（II）直线l的极坐标方程为$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）-2=0$，展开可得：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）-2=0，可得直角坐标方程：x+y-2=0．
可得参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
代入曲线C₁的直角坐标方程可得：t²+2$\sqrt{2}$t-4=0．
解得t₁+t₂=-2$\sqrt{2}$，t₁•t₂=-4．．
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-2\sqrt{2}）^{2}-4×（-4）}$=$2\sqrt{6}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程及其应用、相交弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．