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    (本题满分12分)在如图的多面体中，⊥平面，,，，，，，是的中点．

    (Ⅰ) 求证：平面；

    (Ⅱ) 求证：；

    (Ⅲ) 求二面角的余弦值.

     

    【答案】

     

    【解析】

    试题分析：

    解：(Ⅰ)证明：∵，∴； 又∵，是的中点，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴. ∵平面，平面，∴平面.      4分

    (Ⅱ) 解法1：证明：∵平面，平面，∴；又，平面，∴平面. 过作交于，则平面.∵平面，∴.

    ∵，∴四边形平行四边形，∴，∴，又，∴四边形为正方形，∴，又平面，平面，∴⊥平面. ∵平面，∴.         8分

    解法2：∵平面，平面，平面，∴，，又，∴两两垂直. 以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得，，，，；∴，，

    ∴，∴.   8分

    (Ⅲ)由已知得是平面的法向量. 设平面的法向量为，

    ∵，

    ∴，∴，即，令,得.

    设二面角的大小为，由法向量与的方向可知，，

    ∴，即二面角的余弦值为.   12分

    考点：本题考查线面位置关系、二面角等有关知识，考查空间想象能力，中等题.

    点评：

     

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