Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的函数，对任意实数x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＜0；f（3）=-1．
（1）求f（9）；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）在我们所学的函数中写出一个符合条件的函数，在此条件下解不等式：f（x-2）＞1-f（

1

4-x

）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法结合条件即可求f（9）；
（2）根据函数单调性的定义，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）根据条件确定满足条件的函数解不等式即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（3）=-1．
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2f（3）=-2；
（2）递减函数；取0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，则f（

x2

x1

）＜0，
又∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

•x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

•）+f（x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
（3）∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（1）=0，且函数在（0，+∞）上的单调递减，
则满足此条件的函数为单调递减的对称函数，
不妨设f（x）=log

1

3

x，
则不等式f（x-2）＞1-f（

1

4-x

）等价为f（x-2）+f（

1

4-x

）＞1．
即f[（x-2）（

1

4-x

）]＞1，
即f[（x-2）（

1

4-x

）]＞f（

1

3

），
则等价为

x-2＞0 1 4-x ＞0 (x-2)• 1 4-x ＜ 1 3

，
即

x＞2 x＜4 3(x-2)＜4-x

，解得2＜x＜

5

2

．
即此时不等式的解集为（2，

5

2

）

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，综合考查函数的性质是应用．