Question

在棱长为3，各面都为等边三角形的正四面体内任取一点P，由点P向各面引垂线，垂线段的长度分别为d₁，d₂，d₃，d₄，则d₁+d₂+d₃+d₄的值为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、

  6

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：根据正四面体的棱长为3算出它的高h=

6

，再由体积分割法列出等式，然后两边约去三角形的面积化简得

6

=d₁+d₂+d₃+d₄，可得本题答案．

解答： 解：由于正四面体的边长为3，
可得它的高为h=

6

3

×3=

6

，
如图，设正四面体ABCD内有一点P，根据题意得
V_A-BCD=V_P-ABC+V_P-ACD+V_P-ABD+V_P-BCD，
即：

1

3

S△BCD×

6

=

1

3

S△ABC×d1+

1

3

S△ACD×d2+

1

3

S△ABD×d3+

1

3

S△BCD×d4，
∵正四面体的各个面是全等的正三角形，
∴两边约去

1

3

S△BCD，得

6

=d₁+d₂+d₃+d₄
即d₁+d₂+d₃+d₄为定值

6

．
故选：D．

点评：本题给出棱长为3的正四面体内部的点P，求点P到四个面的距离之和．着重考查了正四面体的性质、锥体的体积公式等知识，属于中档题．