Question

如图(6)，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，

过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面

AEH交SC于K点，且AB=1，SA=2．

（1）设点P是SA上任一点，试求的最小值；

（2）求证：E、H在以AK为直径的圆上；

（3）求平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

（1）将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如右图示，

则当B、P、H三点共线时，取最小值，这时，的

最小值即线段BH的长，设,则，

在中，∵,∴,

在三角形BAH中，有余弦定理得：

∴.

（2）证明：∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，

∴BC⊥平面SAB，又平面SAB，∴EA⊥BC，又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC ，

又平面SBC，∴EA⊥EK， 同理 AH⊥KH，∴E、H在以AK为直径的圆上

（3）方法一：如图，以A为原点,分别以AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如右图示，

则S（0，0，2），C（1，1，0），由（1）可得AE⊥SC，AH⊥SC，∴SC⊥平面AEKH，

为平面AEKH的一个法向量，

为平面ABCDF的一个法向量，

设平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为，

则

∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值---14分

【方法二：  由可知,故,

又∵面AEKH，

面AEKH,  ∴面AEKH.  

设平面AEKH平面ABCD=l，∵面AEKH，

∴-

∵BD⊥AC，∴⊥AC，

又BD⊥SA，∴BD⊥平面SAC，又平面SAC，

∴BD⊥AK， ∴⊥AK，

∴为平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的一个平面角

∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为．-