Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-

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x²-x+4与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；
法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，即可得到圆的方程；
（2）利用设而不求思想设出圆C与直线x-y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．

解答： 解：（1）法一：曲线y=-

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x²-x+4与y轴的交点为（0，4），
与x轴的交点为（-4，0），（2，0）．
可知圆心在直线x=-1上，
故可设该圆的圆心C为（-1，t），
则有1²+（t-4）²=3²+t²，解得t=1，
故圆C的半径为

10

，所以圆C的方程为（x+1）²+（y-1）²=10．
法二：设圆x²+y²+Dx+Ey+F=0，
x=0，y=4有16+4E+F=0，
y=0，-

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x²-x+4=0与x²+Dx+F=0是同一方程，故有D=2，F=-8，E=-2，
即圆方程为x²+y²+2x-2y-8=0；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐标满足方程组

x-y+a=0 x2+y2+2x-2y-8=0

，
消去y，得到方程2x²+2ax+a²-2a-8=0，
由已知可得判别式△=64+16a-4a²＞0．
在此条件下利用根与系数的关系得到x₁+x₂=-a，x₁x₂=

a2-2a-8

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①，
由于OA⊥OB可得x₁x₂+y_1^y2=0，又y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
所以可得2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0②
由①②可得a=4或-2，
满足△=64+16a-4a²＞0．
故a=-2或4．

点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．