Question

已知函数f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），其中a＞0，a≠1
（1）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值集合；
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值为负，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）易判断f（x）的奇偶性、单调性，根据性质可去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式；
（2）由（1）可知，当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值为负⇒f（2）-4≤0，代入a解不等式即可；

解答：解：（1）容易知道函数f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x）是奇函数、增函数．
所以f（1-m）+f（1-m²）＜0⇒f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
⇒

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

⇒1＜m＜

2

；
（2）由（1）可知：当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值为负⇒f（2）-4≤0
⇒

a

a2-1

(a2-a-2)-4=

a2+1

a

-4≤0，
⇒2-

3

≤a≤2+

3

，且a≠1．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式的解法，考查转化思想，属中档题．