Question

【题目】如图，已知椭圆C0： ，动圆C1： ．点A1 ， A2分别为C0的左右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．

（1）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；
（2）设动圆C2： 与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2 ． 若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明： 为定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设A（x1，y1），B（x1，﹣y1），

∵A1（﹣a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为 ①

直线A2B的方程为y=﹣ （x﹣a）②

由①×②可得： ③

∵A（x1，y1）在椭圆C0上，

∴

∴

代入③可得：

∴ ；

（2）

证明：设A′（x3，y3），

∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等

∴4|x1||y1|=4|x3||y3|

∴ =

∵A，A′均在椭圆上，

∴ =

∴ =

∴

∵t1≠t2，∴x1≠x3．

∴

∵ ，

∴

∴ =a2+b2为定值

【解析】（1）设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C0上，化简即可得到M轭轨迹方程；（2）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得 =a2+b2为定值．