Question

已知函数f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈Z）是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3且f（x）在[1，+∞）上递增，
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）恒成立，即可求得c的值，再根据又f（1）=2，f（2）＜3，且a，b，c∈Z，即可取得a和b的值，从而得到答案；
（2）根据（1）的结论，得到f（x）的解析式，利用导数的符号可判定函数f（x）在（-∞，0）上的单调性．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，b，c∈Z）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，
∴

ax2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx+c

=

ax2+1

-bx-c

恒成立，
∴c=-c，即c=0，
即f（x）=

ax2+1

bx

，
∵f（1）=2，∴

a+1

b

=2，
∵f（2）＜3，即 

4a+1

2b

＜3，①
∵

a+1

b

=2，则b=

a+1

2

代入①，
∴

4a+1

a+1

＜3，即

a-2

a+1

＜0，
解得-1＜a＜2，
又∵f（x）在[1，+∞）上递增，
∴f（1）=2＜f（2）即2＜

4a+1

2b

=

4a+1

a+1

，解得a＞

1

2

或a＜-1，
综上所述

1

2

＜a＜2，
∵a∈Z，
∴a=1，b=

a+1

2

=1，c=0；
（2）由（1）知f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，（x＜0），
∴f′（x）=1-

1

x2

，
令f′（x）＞0，解得x＜-1，即函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜0，即函数f（x）在（-1，0）上单调递减，
∴当x＜0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1），减区间为（-1，0）．

点评：本题考查了函数奇偶性的应用，函数单调性的判断与证明．已知函数的奇偶性，则一定满足函数奇偶性的定义．对于奇函数，如果定义域中能取到0，则利用f（0）=0解题更为方便．函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于中档题．