Question

3．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2．
（1）求正方体各顶点的坐标；
（2）求A₁C的长度．

Answer 1

分析 （1）由已知利用坐标意义即可得出．
（2）解法一：利用两点之间的距离公式即可得出．
解法二：利用勾股定理即可得出．

解答 解：（1）正方体各顶点的坐标如下：A₁（0，0，0），B₁（0，2，0），C₁（2，2，0），D₁（2，0，0），A（0，0，2），B（0，2，2），C（2，2，2），D（2，0，2）
（2）解法一：$|{{A_1}C}|=\sqrt{{2^2}+{2^2}+{2^2}}=2\sqrt{3}$．
解法二：∵$|{{A_1}{C_1}}|=2\sqrt{2}，|{A{A_1}}|=2$，
在Rt△AA₁C₁中，${|{A{C_1}}|^2}={|{A{A_1}}|^2}+{|{{A_1}{C_1}}|^2}$，
∴${|{A{C_1}}|^2}={2^2}+{（2\sqrt{2}）^2}=12$，∴$|{A{C_1}}|=2\sqrt{3}$，∴$|{{A_1}C}|=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了空间向量坐标、两点之间的距离公式、勾股定理、正方体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．