Question

（2014•郴州三模）设集合A⊆R，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的一个聚点．则在下列集合中：

（1）Z+∪Z﹣；

（2）R+∪R﹣；

（3）{x|x=，n∈N*}；

（4）{x|x=，n∈N*}．

其中以0为聚点的集合有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

 

Answer 1

B

【解析】

试题分析：根据集合聚点的新定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．

【解析】
（1）对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z+∪Z﹣，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是Z+∪Z﹣的聚点；

（2）集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a，

∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点；

（3）集合{x|x=，n∈N*}中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a，

∴0是集合 {x|x=，n∈N*}的聚点；

（4）中，集合{x|x=，n∈N*}中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，

∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，

∴0不是集合{x|x=，n∈N*}的聚点；

故选：B