Question

17．已知椭圆C₁与双曲线C₂有相同的焦点F₁、F₂，点P是C₁与C₂的一个公共点，△PF₁F₂是以一个以PF₁为底的等腰三角形，|PF₁|=4，C₁的离心率为$\frac{3}{7}$，则C₂的离心率是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 利用离心率的定义，及椭圆C₁的离心率的值为$\frac{3}{7}$，|PF₁|=4，|F₁F₂|=|PF₂|，可求得|PF₂|=3，再利用椭圆的离心率e₂=$\frac{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}{丨P{F}_{1}丨-丨P{F}_{2}丨}$=3，可得结论．

解答 解：根据题意知C₁的离心率e₁=$\frac{{c}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{2{c}_{1}}{2{a}_{1}}$=$\frac{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}{丨P{F}_{1}丨+丨P{F}_{2}丨}$=$\frac{3}{7}$，
又|PF₁|=4，丨F₁F₂丨=丨PF₂丨
∴丨PF₂丨=丨F₁F₂丨=3，
∴双曲线的离心率e₂=$\frac{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}{丨P{F}_{1}丨-丨P{F}_{2}丨}$=3，
故选B．

点评 本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于中档题．