Question

在直角坐标系xOy中，曲线C：

x= 2 cosθ y=sinθ

（θ为参数），过点P（2，1）的直线与曲线C交于A，B两点．若|PA|•|PB|=

8

3

，求|AB|的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：首先把参数方程转化成直角坐标方程，进一步把经过点P的直线的参数方程转化出来．利用直线和曲线的位置关系利用两根和两根积求出结果．

解答： 解：首先把曲线C转化成直角坐标方程为：

x2

2

+y2=1①
过点P（2，1）的直线的参数方程为：

x=2+tcosθ y=1+tsinθ

(θ为参数)②，
所以：点P在椭圆外，
把②代入①得到的方程整理为为：（2sin²θ+cos²θ）t²+4（cosθ+sinθ）t+4=0，
设t₁和t₂是点P到A和B的有向线段，
所以根据根和系数的关系：|PA||PB|=t₁t₂=

4

2sin2θ+cos2θ

=

4

1+sin2θ

，
由于|PA|•|PB|=

8

3

，
所以：

4

1+sin2θ

=

8

3

，
解得：sinθ=±

2

2

，
cosθ=±

2

2

，
所以：|AB|=|PA|-|PB|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

32 3 - 4 2 3

点评：本题考查的知识要点：参数方程与直角坐标方程的转化，有向线段的应用问题，根和系数的关系，属于基础题型．