Question

已知直线l过点A（-2，-1），直线l的一个方向向量为（1，1），抛物线T的方程为y=ax²
（1）求直线l的方程
（2）若直线l与抛物线T交于点B、C两点，且|BC|是|AB|和|AC|的等比中项，求抛物线T的方程
（3）设抛物线T的焦点为F，问：是否存在正整数a，使得抛物线T上至少有一点P．满足|PF|=|PA|？若存在，试求出所有这样的正整数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与解析几何的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由正弦的方向向量可得直线的斜率为1，再由点斜式方程，即可得到直线方程；
（2）运用等比数列的性质和直线l的参数方程，代入抛物线方程，由参数的几何意义，可得|AB||AC|，再由直线方程代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解a的方程即可得到；
（3）假设存在正整数a，使得抛物线T上至少有一点P．满足|PF|=|PA|．求出AF的中垂线方程，代入抛物线方程，求出判别式，运用换元法和构造函数的方法，即可判断判别式小于0，即可得到结论．

解答： 解：（1）直线l的一个方向向量为（1，1），即直线l的斜率为1，
则直线l的方程为y+1=x+2，即y=x+1；
（2）|BC|是|AB|和|AC|的等比中项，即|BC|²=|AB||AC|，
设直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-1+ 2 2 t

（t为参数），
代入抛物线方程y=ax²，化简可得

1

2

at²-（2

2

a+

2

2

）t+4a+1=0，
则（2

2

a+

2

2

）²-4×

1

2

a•（4a+1）＞0，即a＞-

1

4

，
t₁t₂=

2(4a+1)

a

，
由

y=x+1 y=ax2

可得ax²-x-1=0，则判别式1+4a＞0，
x₁+x₂=

1

a

，x₁x₂=-

1

a

，
则弦长|BC|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

1 a2 + 4 a

，
由|BC|²=|AB||AC|，可得2（

1

a2

+

4

a

）=|

2(4a+1)

a

|，
解得a=1或-1（舍去），
即有抛物线方程为y=x²；
（3）假设存在正整数a，使得抛物线T上至少有一点P．满足|PF|=|PA|．
由y=ax²可得焦点F（0，

1

4a

），
AF的斜率为

1+4a

8a

，则AF的中垂线的斜率为-

8a

1+4a

，
AF的中垂线方程为y-（

1

8a

-

1

2

）=-

8a

1+4a

（x+1），
代入抛物线方程可得，ax²+

8a

1+4a

x-

1+4a

8a

+

8a

1+4a

=0，①
则△=（

8a

1+4a

）²-4a（-

1+4a

8a

+

8a

1+4a

），
令

8a

1+4a

=t，由a为正整数，则a=

t

8-4t

（

8

5

≤t＜2），
代入判别式化简得，△=

t2-t3+1

2-t

，
令f（t）=t²-t³+1，则f′（t）=2t-3t²，当t∈[

8

5

，2）时，f′（t）＜0，
f（t）在[

8

5

，2）上递减，则f（t）≤f（

8

5

）＜0，
即有△＜0，方程①无实数解．
则不存在正整数a，使得抛物线T上至少有一点P．满足|PF|=|PA|．

点评：本题考查抛物线的方程和性质，重点考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，同时考查二次方程的判别式与方程的解的关系，是一道综合题，属于中档题．