Question

20．口袋中有6个大小相同的小球，其中1个小球标有数字“3”，2个小球标有数字“2”，3个小球标有数字“1”，每次从中任取一个小球，取后放回，连续抽取两次．
（I）求两次取出的小球所标数字不同的概率；
（II）记两次取出的小球所标数字之和为ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别记第i次抽取的小球标有数字“1”、“2”、“3”为A_i，B_i，C_i，i=1，2，则P（A_i）=$\frac{1}{2}$，P（B_i）=$\frac{1}{3}$，P（C_i）=$\frac{1}{6}$，先求出取出的两个小球所标数字相同的概率，由此能求出取出的两个小球所标的数字不同的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）分别记第i次抽取的小球标有数字“1”、“2”、“3”为A_i，B_i，C_i，i=1，2，
则P（A_i）=$\frac{1}{2}$，P（B_i）=$\frac{1}{3}$，P（C_i）=$\frac{1}{6}$，
取出的两个小球所标数字相同的概率为：
P（A₁•A₂+B₁•B₂+C₁•C₂）=（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{6}$）²=$\frac{7}{18}$，
取出的两个小球所标的数字不同的概率：
P=1-P（A₁•A₂+B₁•B₂+C₁•C₂）=$\frac{11}{18}$．
（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5，6，
P（ξ=2）=P（A₁•A₂）=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=3）=P（A₁•B₂+B₁•A₂）=2×$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$，
P（ξ=4）=P（A₁•C₂+B₁•B₂+C₁•A₂）=$2×\frac{1}{2}×\frac{1}{6}+（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{5}{18}$，
P（ξ=5）=P（B₁•C₂+C₁•B₂）=$2×\frac{1}{3}×\frac{1}{6}=\frac{1}{9}$，
P（ξ=6）=P（C₁•C₂）=（$\frac{1}{6}$）²=$\frac{1}{36}$，
ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5	6
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{36}$

Eξ=$2×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{3}+4×\frac{5}{18}+5×\frac{1}{9}+6×\frac{1}{36}$=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．