Question

已知中心在原点的椭圆Γ₁和抛物线Γ₂有相同的焦点（1，0），椭圆Γ₁的离心率为

1

2

，抛物线Γ₂的顶点为原点．
（Ⅰ） 求椭圆Γ₁和抛物线Γ₂的方程；
（Ⅱ） 设点P为抛物线Γ₂准线上的任意一点，过点P作抛物线Γ₂的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（ⅰ）设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值；
（ⅱ）若直线AB交椭圆Γ₁于C，D两点，S_△PAB，S_△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：

S△PAB

S△PCD

是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设椭圆Γ₁和抛物线Γ₂的方程分别为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)， y2=2px（p＞0）．由题意得，

c

a

=

1

2

， c=1， 

p

2

=1，解出即可得出．
（II）（ⅰ）设P（-1，t），过点P与抛物线y²=4x相切的直线方程为y-t=k（x+1），与抛物线方程联立可得y2-

4

k

y+

4t

k

+4=0，由△=0及其根与系数的关系即可得出．
（ⅱ）法一：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），由（ⅰ）得y1=

2

k1

，y2=

2

k2

，可得x₁，x₂，直线BA的方程为y=-

2

k1+k2

(x-1)，即直线AB过定点（1，0）．
法二：以A为切点的切线方程为y-y1=

2

y1

(x-x1)，即y₁y=2（x+x₁），同理以B为切点的切线方程为y₂y=2（x+x₂），由两条切线均过点P（-1，t），可得切点弦AB的方程为ty=2（x-1），即直线AB过定点（1，0）．设P到直线AB的距离为d，

S△PAB

S△PCD

=

1 2 d•|AB|

1 2 d|CD|

=

|AB|

|CD|

．
①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直线方程与抛物线方程联立可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，k≠0时△＞0恒成立．利用根与系数的关系、弦长公式可得|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

．直线方程与椭圆方程联立同理可得|CD|=

(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]

，可得

S△PAB

S△PCD

=

1

k2

+

4

3

＞

4

3

．
②当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，可得

S△PAB

S△PCD

=

4

3

，比较①②即可得出．

解答： （I）解：设椭圆Γ₁和抛物线Γ₂的方程分别为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)， y2=2px（p＞0）
由题意得，

c

a

=

1

2

， c=1， 

p

2

=1，即

a=2 c=1

，p=2，
∴椭圆Γ₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，抛物线Γ₂的方程为y²=4x．
（II）（ⅰ）证明：设P（-1，t），过点P与抛物线y²=4x相切的直线方程为y-t=k（x+1），
由

y-t=k(x+1) y2=4x

消去x得y2-

4

k

y+

4t

k

+4=0，
由△=0得

1

k2

-

t

k

-1=0，即k²+tk-1=0，则k₁k₂=-1．
（ⅱ）法一：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由（ⅰ）得y1=

2

k1

，y2=

2

k2

，则x1=

1

k 2 1

，x2=

1

k 2 2

，
直线AB的方程为y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，即y=-

2

k1+k2

(x-1)，
即直线AB过定点（1，0）．
法二：以A为切点的切线方程为y-y1=

2

y1

(x-x1)，即y=

2

y1

x+

y1

2

，即y₁y=2（x+x₁），
同理以B为切点的切线方程为y₂y=2（x+x₂），
∵两条切线均过点P（-1，t），
∴

ty1=2(-1+x1) ty2=2(-1+x2).

，
则切点弦AB的方程为ty=2（x-1），即直线AB过定点（1，0）
设P到直线AB的距离为d，

S△PAB

S△PCD

=

1 2 d•|AB|

1 2 d|CD|

=

|AB|

|CD|

．
①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由

y2=4x y=k(x-1)

消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，k≠0时△＞0恒成立．
|AB|=

(1+k2)(x2-x1)2

=

(1+k2) 16+16k2 k4

=

4(1+k2)

k2

．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，△＞0恒成立．
|CD|=

(1+k2)(x3-x4)2

=

(1+k2) 144+144k2 (3+4k2)2

=

12(1+k2)

3+4k2

，
∴

S△PAB

S△PCD

=

4(1+k2) k2

12(1+k2) 3+4k2

=

3+4k2

3k2

=

1

k2

+

4

3

＞

4

3

．
②当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，
此时，|AB|=4，|CD|=3，

S△PAB

S△PCD

=

4

3

，
∴

S△PAB

S△PCD

的最小值为

4

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．