Question

如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为CD的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），且|MN|≤1，则

AM

•

AN

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,数形结合,平面向量及应用,直线与圆

分析：先以点A为坐标原点建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出

AM

•

AN

，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．

解答： 解：以点A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，
由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，
故点A（0，0），则B（2，0），C（3，

3

），
D（1，

3

），M（2，

3

）．
设N（x，y），
因为

AM

=（2，

3

），

AN

=（x，y），则

AM

•

AN

=2x+

3

y，
由于|MN|≤1，即有N在以M为圆心，1为半径的下半圆内，
又N为平行四边形内（包括边界）一动点，
则对应的平面区域如图所示，
结合图象可得当目标函数z=2x+

3

y过点C（3，

3

）时，
z=2x+

3

y取得最大值为9，
当目标函数z=2x+

3

y与半圆相切时，即

|2×2+ 3 × 3 -z|

4+3

=1，
可得z=7-

7

，或7+

7

（舍去）．
z=2x+

3

y取得最小值7-

7

．
则

AM

•

AN

的取值范围为[7-

7

，9]．
故答案为：[7-

7

，9]．

点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．