Question

已知函数f（x）=

4x-a

1+x2

在区间[m，n]上为增函数，且f（m）f（n）=-4，当f（n）-f（m）取得最小值时，n-m的值为

 

，此时a=

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得f（m）＜0，f（n）＞0，f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]，利用基本不等式求得它的最小值，以及取得最小值时a、m、n的值，从而得出结论．

解答： 解：由于函数f（x）=

4x-a

1+x2

在区间[m，n]上为增函数，f（m）f（n）=-4，
可得f（m）＜0，f（n）＞0，f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2

f(n)•[-f(m)]

=4，
当且仅当f（n）=-f（m）=2时取等号．
由

4n-a

1+n2

=2=-

4m-a

1+m2

，化简可得-a=2（n-1）²≥0，a=2（m+1）²≥0，
即a≤0，且a≥0，
求得a=0，n=1，m=-1，故n-m=2，
故答案为：2； 0．

点评：本题主要考查函数的单调性的性质，基本不等式的应用，属于中档题．