Question

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₅=4a₃+6，且a₂，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）如果a₁≠a₅，求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的定义，设出公差d，利用S₅=4a₃+6，且a₂，a₃，a₉成等比数列．建立关系式，求解公差d和a₁，即可得数列{a_n}的通项公式；
（2）求出等差数列S_n；数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的通项公式；裂项相消法求解前n项和．

解答 解：（1）由题意：数列{a_n}是等差数列，设公差d，首项为a₁，S₅=4a₃+6，
则：S₅=4a₃+6=5a₁+$\frac{5×4d}{2}$，
∴a₁+2d=6…①
又∵a₂，a₃，a₉成等比数列
∴（a₁+2d）²=（a₁+d）（a₁+8d）
∴da₁=d²…②
由①，②可得：a₁=2，d=2或a₁=6，d=0．
故得数列{a_n}的通项公式为a_n=2n或a_n=6．
（2）∵a₁≠a₅
∴a_n=2n
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}×d$=n²+n；
则：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的通项公式：$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为：$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
故得数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的性质，考查运算能力，裂项相消法求解前n项和，属于基础题．