Question

已知函数f（x）=a²lnx，g（x）=-

(a+1)•ex

x+1

，a为常数，且a≠0．
（Ⅰ）令h（x）=f（x）-

(a+1)(x-1)

x

，求h（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，且当x₁，x₂∈（0，1]，x₁≠x₂时，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则可得h^′（x）=

a2

x

-

a+1

x2

=（x＞0），再对a分类讨论即可得出其单调性；
（II）不妨设0＜x₁＜x₂≤1．利用导数可得g（x）的单调性，由f（x）得单调性易得，即可把问题转化为f（x₂）-f（x₁）＞g（x₁）-g（x₂），即f（x₂）+g（x₂）＞f（x₁）+g（x₁）．令F（x）=f（x）+g（x），由F（x₂）＞F（x₁），可得F（x）在（0，1]上递增，
于是对x∈（0，1]F^′（x）≥0恒成立．通过分离参数等价转化，利用导数即可得出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵h（x）=a2lnx-

(a+1)(x-1)

x

，∴h^′（x）=

a2

x

-

a+1

x2

=

a2x-(a+1)

x2

（x＞0），
①当a≤-1时，h^′（x）≥0，∴h（x）的单调递增区间为：（0，+∞）．
②当a＞-1且a≠0时，令h^′（x）≥0，解得x＞

a+1

a2

；h^′（x）＜0，解得0＜x＜

a+1

a2

．
∴h（x）的单调递增区间为：(

a+1

a2

，+∞)，单调递减区间为：(0，

a+1

a2

)．
（Ⅱ）不妨设0＜x₁＜x₂≤1．
∵f（x）在（0，1]上递增，∴f（x₁）＜f（x₂）．
而g′(x)=-

a+1

(x+1)2

•ex•x，
∵a＞0，∴g^′（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上递减，
∴g（x₁）＞g（x₂）．
故由题意得：f（x₂）-f（x₁）＞g（x₁）-g（x₂），
即f（x₂）+g（x₂）＞f（x₁）+g（x₁）．
令F（x）=f（x）+g（x）=a2lnx-

(a+1)ex

x+1

，
则F（x₂）＞F（x₁），∴F（x）在（0，1]上递增，
∴F′(x)=

a2

x

-

(a+1)ex•x

(x+1)2

≥0对x∈（0，1]恒成立．
即 

a+1

a2

≤

(x+1)2

ex•x2

 对x∈（0，1]恒成立．                
再设G（x）=

(x+1)2

ex•x2

，
∵G^′（x）=-

(x+1)(x2+x+2)

ex•x3

＜0，∴G（x）在（0，1]上单调递减．
∴G(x)min=G(1)=

4

e

．
∴

a+1

a2

≤

4

e

，
解得：a≤

1- 17

8

e或a≥

1+ 17

8

e．∴实数a的取值范围为：a≥

1+ 17

8

e．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把恒成立问题通过分离参数等价转化利用导数研究其最值等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．