Question

（本小题满分15分） 已知函数f(x)＝－1＋2sinxcosx＋2cos2x.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标；
(3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．

Answer 1

(1) [kπ＋，kπ＋](k∈Z) ;(2) (－，0) ;(3) .

解析试题分析：f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，
(1)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋ (k∈Z)
得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
(2)由sin(2x＋)＝0得2x＋＝kπ(k∈Z)，
即x＝－ (k∈Z)，
∴f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标是(－，0)．
(3)由f(α)＝f(β)得：
2sin(2α＋)＝2sin(2β＋)，
又∵角α与β的终边不共线，
∴(2α＋)＋(2β＋)＝2kπ＋π(k∈Z)，
即α＋β＝kπ＋ (k∈Z)，∴tan(α＋β)＝.
考点：二倍角公式；和差公式；三角函数的性质。
点评：求函数的单调区间，一定要注意的正负，此为易错点，也是常考点。此题属于基础题型。