Question

3．函数y=a^2-x+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0，（mn＞0）上，则 $\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为8．

Answer 1

分析 由于函数y=a^2-x+1（a＞0，a≠1）图象恒过定点A（2，2），又点A在直线mx+ny-1=0上（mn＞0），可得2（m+n）=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答 解：函数y=a^2-x（a＞0，a≠1）图象恒过定点A（2，2），
∵点A在直线mx+ny-1=0上（mn＞0），∴2m+2n=1，
又mn＞0．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=2（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=4+2（$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$）≥4+4$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{n}{m}}$=8，
当且仅当m=n=$\frac{1}{4}$时取等号．
故答案为：8．

点评 本题考查了指数函数的性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于中档题．